\documentclass[12pt, a4paper]{article}
\usepackage{geometry}
\geometry{
	a4paper,
	left=12.7 mm,
	right=12.7 mm,
	top=12.7 mm,
	bottom=12.7 mm,
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\graphicspath{ {./} }
\usepackage{ctex}
\usepackage{tikz}


\newcommand{\bvec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	\section{匀速圆周运动的基本性质}
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=1]
			% 坐标系
			\draw[->] (-2.2,0) -- (2.2,0) node[right] {$x$};
			\draw[->] (0,-2.2) -- (0,2.2) node[above] {$y$};
			
			% 圆周
			\draw[thick,dashed] (0,0) circle (2cm);

			\filldraw[purple] (60:2) circle (4pt);

			% 位置矢量
			\draw[->, thick, blue] (0,0) -- (60:2) node[midway, above left] {$\mathbf{r}$};
			
			
			% 速度矢量
			\draw[->, thick, red] (60:2) -- ++(150:1.2) node[above right] {$\mathbf{v}$};
			
			% 加速度矢量
			\draw[->, thick, green!60!black] (60:2) -- ++(240:0.8) node[right, xshift=2pt] {$\mathbf{a, F}$};
			
			% 角度标注
			\draw[dashed] (0:0.5) arc (0:60:0.5);
			\node at (30:0.7) {$\omega t$};
			
			% 图例
			\draw[->, blue, thick] (1.5,-0.8) -- ++(0.5,0) node[right] {位置$\mathbf{r}$};
			\draw[->, red, thick] (1.5,-1.1) -- ++(0.5,0) node[right] {速度$\mathbf{v}$};
			\draw[->, green!60!black, thick] (1.5,-1.4) -- ++(0.5,0) node[right] {加速度$\mathbf{a}$};
			
			% 原点
			\filldraw (0,0) circle (1pt) node[below left] {$O$};
		\end{tikzpicture}
	\end{figure}
	
	\footnote{本笔记使用AI辅助}
	假设我们有一个质量为$m$的粒子，在$x$-$y$平面内关于$z$轴做半径为$R$的匀速（学究地说，不变的是速度大小，而非速度矢量）圆周运动，其角速度为$\omega$（$\omega = \frac{2\pi}{T}$，$T$是粒子运动一圈的周期）。
	那么，他的基本运动学量是：
	\begin{itemize}
		\item 位矢（粒子坐标）：
		\begin{equation}
			\mathbf{r}(t) = (R \cos \omega t, \, R \sin \omega t, \, 0)
		\end{equation}
		
		\item 速度：
		\begin{equation}
			\mathbf{v}(t) = \dv{\bvec r}{t}= (-R \omega \sin \omega t, \, R \omega \cos \omega t, \, 0)
		\end{equation}
		
		\item 加速度：
		\begin{equation}
			\mathbf{a}(t) = \dv{\bvec v}{t}= (-R \omega^2 \cos \omega t, \, -R \omega^2 \sin \omega t, \, 0)
		\end{equation}
	\end{itemize}
	我们立即得到以下重要结论
	\begin{itemize}
		\item 速度大小（速率）：$v = \sqrt{R^2\omega^2 (\sin^2 \omega t + \cos^2 \omega t)} =  R\omega$
		\item 加速度大小：$a = R\omega^2 = v^2/R$
		\item 速度指向切线方向，即与位矢垂直 $\bvec v \cdot \bvec r = 0$ 。
		\item 加速度方向总是指向圆心，与位置矢量$\mathbf{r}$方向相反 $\bvec a \parallel - \bvec r$ 。
	\end{itemize}
	此外，结合牛顿第二定律
	\begin{equation}
		\bvec F = m \bvec a
	\end{equation}
	我们得到向心力应该为
	\begin{equation}
		\bvec F_{\text{向心力}} = - m \omega^2 R  \bvec{\hat r} = - m v^2/R \bvec{\hat r}
	\end{equation}
	$\bvec{\hat r}$是与位矢$\bvec r$平行的单位向量，负号表示反向。
	
	需要注意的是，“向心力”并非某种特殊类型的力，而是指要使一个粒子维持匀速圆周运动，其所受的合外力必须恰好提供所需的向心力。
	换句话说，向心力是实际作用力的效果描述，而非力的来源。
	例如，摩天轮车厢的向心力由重力和摩天轮绳索的拉力提供，卫星的向心力由地球的引力提供等。
	
	\newpage
	\section{一些例子}
	\subsection{绕地球运动的卫星}
	说这么多，让我们举一个高中物理中的常见例子，一个绕地球做匀速圆周运动的卫星。
	万有引力公式是
	\begin{equation}
		F = GMm/R^2
	\end{equation}
	其中，$G$是万有引力常数，$M$是地球质量，$m$是卫星质量，$R$是卫星轨道半径（卫星到地心的距离，即地球半径+以海平面计的轨道高度）。
	此时，完全由引力充当向心力。结合上文所述向心力公式
	\begin{equation}
		F = m v^2 /R
	\end{equation}
	我们发现
	\begin{equation}
		v = \sqrt{GM/R}
	\end{equation}
	此外根据$v=R\omega, \omega = 2\pi/T$，我们有
	\begin{equation}
		T = \frac{2 \pi}{\sqrt{GM}} R^{3/2}
	\end{equation}
	或者写为Kepler第三定律的形式：
	\begin{equation}
		T^2 = \frac{4 \pi^2}{GM} R^3
	\end{equation}
	也就是说，轨道越低，速率越快，运动周期也越短。
	
	让我们具体计算一个近地轨道卫星的运动速率与周期。
	已知以下物理常数和地球参数：
	\begin{itemize}
		\item 万有引力常数 $G \approx 6.67 \times 10^{-11} \mathrm{m^3 kg^{-1} s^{-2}}$
		\item 地球质量 $M \approx 5.97 \times 10^{24} \mathrm{kg}$
		\item 地球半径 $R \approx 6.37 \times 10^6 \mathrm{m}$
	\end{itemize}	
	假设卫星在近地轨道（轨道高度远小于地球半径），则其轨道半径可近似为地球半径。
	根据上述相关公式，卫星的速率为$v = \sqrt{GM/R} \approx 7900 \mathrm{m/s} \approx 7.9 \mathrm{km/s}$，
	周期为 $T \approx 5062 \mathrm{s} \approx 85 \mathrm{min}$。
	这个速度被称为第一宇宙速度。
	
	\subsection{磁场中的电子}
	另一个经典的例子是，磁场中做圆周运动的电子。
	在磁场中，电子所受Lorentz力为
	\begin{equation}
		F=qvB
	\end{equation}
	此时，完全由Lorentz力充当向心力
	\begin{equation}
		F = m v^2 /R
	\end{equation}
	因此
	\begin{equation}
		v = \frac{qBR}{m} 
		\qquad T = \frac{2 \pi m}{qB}
	\end{equation}
	和绕地球的卫星情况很不同，
	在磁场中转圈的电子轨道半径越大，其速率也要越快；
	但是，其周期（与角速度）神奇地无关乎轨道半径。
	
	
	
\end{document}